Чтение графика функции или графика производной функции. Обобщающий урок на тему: «Применение производной и ее графика для чтения свойств функций» Задачи урока: Выработать специфические умения и навыки по работе

ШАЙМАРДАНОВА ТАТЬЯНА ВАСИЛЬЕВНА

Учитель математики высшей квалиф. категории

Средняя школа №1 г. Елабуги

ТЕМА «ЧТЕНИЕ ГРАФИКА ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ»

Цель урока: формирование умений и навыков по определению свойств производной по графику функции, свойств функции по графику производной, сопоставлению графика функции и графика ее производной.

Литература:

Алгебра и начала анализа 10 класс в 2 частях, ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под редакцией А.Г.Мордковича. – 4-е изд. испр. - М.: Мнемозина, 2007. – 340 стр.

Алгебра и начала анализа 10 класс в 2 частях, ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под редакцией А.Г.Мордковича. – 4-е изд. испр. - М.: Мнемозина, 2007. – 336 стр.

Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2010/ под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион – М., 2009 – 480 с. (Готовимся к ЕГЭ)

Материалы и оборудование: компьютерная презентация.

План урока:

Организационный момент.

Повторение теоретического материала по теме.

Основная часть.

Закрепление пройденного.

Подведение итогов.

Ход урока.

1 . Организационный момент.

В ходе изучения темы «Исследование функций с помощью производной» были сформированы умения находить критические точки функции, производную, определять с ее помощью свойства функции и строить ее график. Сегодня мы посмотрим на эту тему под иным углом зрения: как через график производной функции определить свойства самой функции. Наша задача: научиться ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с графиками функций и их производных.

2. Повторение теоретического материала по теме.

Повторим некоторые свойства функции: возрастание и убывание, экстремумы функции.

- Какая функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке?

Функция возрастает на промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция убывает на промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Что называется точкой максимума функции?

Точка непрерывной функции, в которой возрастание функции меняется на убывание, является точкой максимума.

- Дайте определение точки минимума функции.

Точка, в которой убывание меняется на возрастание, является точкой минимума .

- Рассмотрим задачу:

На рис.1 изображен график функции у= f (х) . Функция определена на промежутке [-2;9]

Исследовать функцию на монотонность, определить экстремумы функции.

Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков [-2;2] и , убывает на промежутке , Xmax = 2 , Х min = 5.

- В чем заключается геометрический смысл производной?

Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке, то есть тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс.

- Какой знак имеет производная функции, возрастающей (убывающей) на промежутке Х ?

Для возрастающей функции на промежутке Х угловой коэффициент касательной положителен, то есть производная положительна в каждой точке промежутка Х .

Для убывающей функции на промежутке Х угловой коэффициент касательной отрицателен, то есть производная отрицательна в каждой точке промежутка Х .

- Сформулируйте необходимое условие существования экстремума.

Если функция y = f ( x ) имеет экстремум в точке х = х 0 , то в этой точке производная либо равна 0, либо не существует.

- По графику функции у= f (х) (рис.2 ) укажите:

а) при каких значениях х производная функции равна 0;

б) при каких значениях х производная положительна;

в) при каких значениях х производная отрицательна;

г) в каких точках производная не существует.

Ответ: а) f " (2)=0, f " (5)=0, f " (8)=0;

б) производная положительна на промежутках: (- ∞; 2), (2; 5), (8; 11); в)производная отрицательна на промежутках: (5; 8), (11;+ ∞);

г) производная не существует в точке х=11.

Итак, имея график функции, мы можем определить свойства производной функции.

3. Основная часть.

Формирование знаний, умений и навыков.

Наоборот, по знаку производной можно сделать вывод о характере монотонности функции и ее экстремумах.

Для этого есть достаточный признак возрастания (убывания) функции. Он гласит:

Если производная функции положительна в каждой точке интервала Х, то функция возрастает на интервале Х.

Если производная функции отрицательна в каждой точке интервала Х, то функция убывает на интервале Х.

Достаточные условия экстремума:

Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка критическую точку х 0 . Тогда если при переходе через точку х 0 производная:

а) меняет знак с « +» на «-» , то х 0 – точка максимума функции,

б) меняет знак с «-» на «+» , то х 0 – точка минимума функции,

в) не меняет знака, то в точке х 0 экстремума нет.

Производная функции сама является функцией. Значит, у нее имеется свой график.

Х (у нас отрезок [ а; b ]) расположен выше оси абсцисс, то функция возрастает на этом интервале.

Если график производной на интервале Х расположен ниже оси абсцисс, то функция убывает на этом интервале. Причем варианты графиков производной могут быть различны.

Поведение графика производной функции на [а; b ]

Функция возрастает Функция убывает

Итак, имея график производной функции, можно сделать вывод о свойствах самой функции.

Рассмотрим несколько задач на чтение графика производной функции.

Задача 1. Сколько точек экстремума имеет функция у = f ( x ) , заданная на всей числовой прямой? Исследовать функцию y = f ( x ) на монотонность. Указать длину промежутка убывания функции f ( x ) . (Рис. 3 )

Производная равна 0 в точках: 3, 5, 9. Это критические точки.

Если на промежутке производная положительна, то функция на этом промежутке возрастает. На данном рисунке это промежутки: (- ∞; 3),

(5; 9), (9; + ∞).

Функция непрерывна в точках, поэтому добавляем концы промежутков:(- ∞; 3], , . Длина его равна 2.

В точке х=3 производная меняет знак с «+» на « - ». Это точка максимума.

В точке х=5 производная меняет знак с «-» на «+». Это точка минимума.

В точке х=9 производная не меняет знака. Она не является точкой экстремума.

Задача 2. Функция определена на R . На рис. 4 – график ее производной. Указать наибольшую точку минимума функции у = f (х) .

Точка минимума функции – это точка в которой производная меняет знак с «-» на « +».

Из рисунка видно, что таких точек две: -2 и 10. Наибольшая из них – 10.

Задача 3. Функция у= f (х) определена на промежутке (-5; 9). На рис.5 изображен график ее производной. Найдите точку х 0 , в которой функция у = f (х) принимает наибольшее значение.

Производная функции определена на промежутке (-5; 9) и обращается в 0 в точке х =4.

На промежутке (-5; 4) производная положительна, следовательно, функция возрастает на промежутке (-5; 4), а так как функция непрерывна в точке 4, то и на промежутке (-5; 4].

На промежутке (4; 9) производная отрицательна, следовательно, функция убывает на промежутке , следовательно, производная функции отрицательна на этом промежутке. Функция возрастает на промежутке , возрастает на промежутке [а; + ∞), значит, производная функции отрицательна на промежутке (- ∞;а), положительна на промежутке (а; + ∞) Это прямая 3.

4. Закрепление пройденного.

Предлагаем тренажер по пройденной теме.

5. Подведение итогов.

Мы рассмотрели взаимосвязь монотонности функции и знака ее производной, достаточные условия существования экстремума. Рассмотрели различные задания на чтение графика производной функции, которые встречаются в текстах единого государственного экзамена. Все рассмотренные нами задания хороши тем, что на их выполнение не нужно много времени. Во время единого государственного экзамена это очень важно: быстро и правильно записать ответ

Все рассмотренные нами задания хороши тем, что на их выполнение не нужно тратить много времени. А во время единого государственного экзамена это очень важно: быстро и правильно записать ответ на вопрос задачи.

Обобщающий урок на тему:

«Применение производной и ее графика для чтения свойств функции»

Тип урока: обобщающий урок с применением ИКТ в форме презентации.

Цели урока:

Образовательные:

Содействовать усвоению учащимися применению производной в практических заданиях;

Научить учащихся четко использовать свойства функции и производной.

Развивающие:

Развивать умения анализировать вопрос задания и делать выводы;

Развивать умения применять имеющиеся знания в практических заданиях.

Воспитательные:

Воспитание интереса к предмету;

Необходимость данных теоретических и практических умений для продолжения учебы.

Задачи урока:

Выработать специфические умения и навыки по работе с графиком производной функции для их применения при сдаче ЕГЭ;

Подготовиться к контрольной работе.

План урока.

1. Актуализация опорных знаний (АОЗ).

2. Отработка знаний, умений и навыков по теме.

3. Тестирование (В8 из ЕГЭ).

4. Взаимопроверка, выставление оценок «соседу».

5. Подведение уроков урока.

Оборудование: компьютерный класс, доска, маркер, тесты (2 варианта).

Ход урока.

Оргмомент.

Учитель . Здравствуйте, садитесь.

При подготовке к ЕГЭ по математике в КИМах даны задачи на применение графика производной для исследования функций. Поэтому на данном уроке мы должны систематизировать свои знания по этой теме и научиться быстро находить ответы на вопросы заданий В8.

Слайд №1.

Тема: «Применение производной и ее графика для чтения свойств функций»

Задачи урока:

Отработка ЗУН применения производной, ее геометрического смысла и графика производной для определения свойств функций.

Развитие оперативности выполнения тестов ЕГЭ.

Воспитание таких качеств личности как внимательность, умение работать с текстом, умение работать с графиком производной

2.Актуализация опорных знаний (АОЗ). Слайды с № 4 по № 10.

Сейчас на экране будут появляться вопросы для повторения. Ваша задача: дать четкий и краткий ответ по каждому пункту. Верность вашего ответа можно будет проверить на экране.

( На экране сначала появляется вопрос, после ответов учащихся для сверки появляется верный ответ.)

Список вопросов для АОЗ.

Определение производной.

Геометрический смысл производной.

Связь между значениями производной, угловым коэффициентом касательной, углом между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Применение производной для нахождения промежутков монотонности функции.

Применение производной для определения критических точек, точек экстремума

6 .Необходимые и достаточные условия экстремума

7 . Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

(Учащиеся отвечают на каждый пункт, сопровождая свои ответы, записями и чертежами на доске. При ошибочных и неполных ответах, одноклассники исправляют и дополняют их. После ответа учащихся, на экране появляется верный ответ. Таким образом, учащиеся сразу могут определить верность своего ответа.)

3. Отработка знаний, умений и навыков по теме. Слайды № 11 по № 15.

Учащимся предлагаются задания из КИМов ЕГЭ по математике прошлых лет, из сайтов в интернете на применение производной и ее графика для исследования свойств функций. Задания появляются последовательно. Решения учащиеся оформляют на доске, либо устными рассуждениями. Затем на слайде появляется верное решение и сверяется с решением учащихся. Если в решении допущена ошибка, то она анализируется всем классом.

Слайд №16 и №17.

Тестирование (В8 из ЕГЭ). Слайды с № 18 по № 29. Слайд № 30 – ключи к тесту.

Учитель : Итак, мы обобщили ваши знания по данной теме: повторили основные свойства производной, решили задачи, связанные с графиком производной, разобрали сложные и проблемные моменты применения производной и графика производной для исследования свойств функций.

Сейчас проведем тестирование в 2 варианта. Задания будут появляться на экран оба варианта, одновременно. Вы изучаете вопрос, находите ответ, заносите его в бланк для ответов. После завершение теста, меняетесь бланками и проверяете работу соседа по готовым ответам. Выставляете оценку (до 10 баллов – «2», с 11 до 15 баллов –«3», с 16 до 19 баллов – «4», более 19 баллов – «5».).

Подведение итогов урока

Во время единого государственного экзамена это очень важно: быстро и правильно записать ответ.

Бланки с ответами сдайте. Оценка за урок вам уже известна и будет выставлена в журнал.

Считаю, что класс подготовился к контрольной работе.

Домашняя работа будет творческая . Слайд № 33 .

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

Образовательная: Закрепить навыки работы учащихся с графиками функций при подготовке к ЕГЭ.

Развивающая: развивать у учащихся познавательный интерес к учебным дисциплинам, умение применять свои знания на практике.

Воспитательная: воспитывать внимание, аккуратность, расширять кругозор учеников.

Оборудование и материалы: компьютер, экран, проектор, презентация “Чтение графиков. ЕГЭ”

Ход урока

1. Фронтальный опрос.

1) <Презентация. Слайды 3,4>.

Что называется графиком функции, областью определения и областью значений функции? Определить область определения и область значений функций.\

2) <Презентация. Слайды 5,6>.

Какая функция называется четной, нечетной, свойства графиков этих функций?

2. Решение упражнений

1) <Презентация. Слайд 7>.

Периодическая функция. Определение.

Решить задание: Дан график периодической функции, x принадлежит интервалу [-2;1]. Вычислить f(-4)-f(-6)*f(12), T=3.

f(-4)=f(-4+T)=f(-4+3)= f(-1)=-1

f(-6)=f(-6+T)= f(-6+3*2)=f(0)=1

f(12)=f(12-4T)= =f(12-3*4)=f(0)=1

f(-4)-f(-6)*f(12)=-1-1*1=-2

2) <Презентация. Слайды 8,9,10>.

Решение неравенств с помощью графиков функций.

а) Решите неравенство f(x) 0, если на рисунке изображен график функции y=f(x), заданной на промежутке [-7;6]. Варианты ответов: 1) (-4;-3) (-1;1) (3;6], 2) [-7;-4) (-3;-1) (1;3), 3) , 4) (-6;0) (2;4) +

б) На рисунке изображен график функции y=f(x), заданной на отрезке [-4;7].Укажите все значения Х, для которых выполняется неравенство f(x) -1.

[-0,5;3], 2) [-0,5;3] U , 3) [-4;0,5] U + , 4) [-4;0,5]

в) На рисунке изображены графики функций y=f(x),и y=g(x), заданных на промежутке [-3;6]. Укажите все значения Х, для которых выполняется неравенство f(x) g(x)

[-1;2], 2) [-2;3], 3) [-3;-2] U +, 4) [-3;-1] U

3) <Презентация. Слайд 11>.

Возрастающая и убывающая функции

На одном из рисунков изображен график функции, возрастающей на отрезке , на другом - убывающей на отрезке [-2;0]. Укажите эти рисунки.

4) <Презентация. Слайды 12,13,14>.

Показательная и логарифмическая функции

а) Назовите условие возрастания и убывания показательной и логарифмической функций. Через какую точку проходят графики показательной и логарифмической функции, каким свойством обладают графики этих функций?

б) На одном из рисунков изображен график функции y=2 -x .Укажите этот рисунок.

График показательной функции проходит через точку (0, 1).Так как основание степени меньше 1, то данная функция должна быть убывающей. (№3)

в) На одном из рисунков изображен график функции y=log 5 (x-4). Укажите номер этого графика.

График логарифмической функции y=log 5 xпроходит через точку (1;0) , тогда, если х -4 = 1, то у=0, х=1+4, х=5 . (5;0) – точка пересечения графика с осью ОХ. Если х -4 = 5 , то у=1, х=5+4, х=9,

5) <Презентация. Слайды 15, 16, 17>.

Нахождение числа касательных к графику функции по графику ее производной

а) Функция y=f(x) определена на промежутке (-6;7). На рисунке изображен график производной этой функции. К графику функции проведены все касательные, параллельные прямой y=5-2x (или совпадающей с ней). Укажите количество точек графика функции, в которых проведены эти касательные.

K = tga = f’(x o). По условию k=-2.Следовательно, f’(x o) =-2. Проводим прямую у=-2. Она пересекает график в двух точках, значит, касательные к функции проведены в двух точках.

б) Функция y=f(x) определена на промежутке [-7;3]. На рисунке изображен график ее производной. Найдите число точек графика функции y=f(x), в которых касательные к графику параллельны оси абсцисс или совпадают с ней.

Угловой коэффициентпрямых, параллельных оси абсцисс или совпадающих с ней равен нулю. Следовательно, К=tg a = f `(x o)=0. Ось ОХ пересекает данный график в четырех точках.

в) Функция y=f(x) определена на промежутке (-6;6). На рисунке изображен график ее производной. Найдите число точекграфика функции y=f(x), в которых касательные к графику наклонены под углом 135 о к положительному направлению оси абсцисс.

6) <Презентация. Слайды 18, 19>.

Нахождение углового коэффициента касательной по графику производной функции

а) Функция y=f(x) определена на промежутке [-2;6]. На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наименьший угловой коэффициент.

k=tga=f’(x o). Наименьшее значение у=-3производная функции принимает в точке х=2. Следовательно, касательная к графику имеет наименьший угловой коэффициент в точке х=2

б) Функция y=f(x) определена на промежутке [-7;3]. На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наибольший угловой коэффициент.

7) <Презентация. Слайд 20>.

Нахождение значения производной по графику функции

На рисунке изображен график функции y=f(x)и касательная к нему в точке с абсциссой х о. Найдите значение производной f `(x)в точке х о

f’(x o) =tga. Так как на рисунке а - тупойугол, то tg a < 0.Из прямоугольного треугольника tg (180 0 -a)=3:2. tg (180 0 -a)= 1,5. Следовательно, tg a= -1,5.Отсюда f `(x o)=-1,5

8) <Презентация. Слайд 21>.

Нахождение минимума (максимума) функции по графику ее производной

В точке х=4 производная меняетзнак с минусана плюс. Значит, х=4 является точкой минимума функцииy=f(x)

В точке х=1 производная меняетзнак с плюсанаминус. Значит, х=1 является точкой максимума функцииy=f(x))

3. Самостоятельная работа

<Презентация. Слайд 22>.

1 Вариант

1) Найти область определенияфункции.

2) Решить неравенство f(x) 0

3) Определить промежутки убывания функции.

4)Найти точки минимума функции.

5)Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наибольший угловой коэффициент.

2 Вариант

1) Найти область значений функции.

2) Решить неравенство f(x) 0

3) Определить промежутки возрастания функции.

График производной функции y=f(x)

4) Найти точки максимума функции.

5) Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наименьший угловой коэффициент.

4. Подведение итогов урока

Далее в классе целесообразно рассмотреть ключевую задачу: по приведенному графику производной ученики должны придумать (конечно же, с помощью учителя) различные вопросы, относящиеся к свойствам самой функции. Естественно, что эти вопросы обсуждаются, в случае необходимости корректируются, обобщаются, фиксируются в тетради, после чего наступает этап решения этих заданий. Здесь необходимо добиться того, чтобы ученики не просто давали правильный ответ, а умели его аргументировать (доказывать), с использованием соответствующих определений, свойств, правил.
Приведем пример такой задачи: на доске (например, с помощью проектора) учащимся предлагается график производной, по нему было сформулировано 10 заданий (не совсем корректные или дублирующие вопросы отвергались).
Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 6].
По графику производной y = f"(x) определите:

1) количество промежутков возрастания функции y = f(x);
2) длину промежутка убывания функции y = f(x);
3) количество точек экстремума функции y = f(x);
4) точку максимума функции y = f(x);
5) критическую (стационарную) точку функции y = f(x), которая не является точкой экстремума;
6) абсциссу точки графика, в которой функция y = f(x) принимает наибольшее значение на отрезке ;
7) абсциссу точки графика, в которой функция y = f(x) принимает наименьшее значение на отрезке [–2; 2];
8) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная перпендикулярна оси Oy;
9) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная образует с положительным направлением оси Ox угол 60°;
10) абсциссу точки графика функции y = f(x), в которой угловой коэффициент касательной принимает наименьшее значение.
Ответ : 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
Для закрепления навыков исследования свойств функции на дом ученикам можно предложить задачу, связанную с чтением одного и того же графика, но в одном случае - это график функции, а в другом - график ее производной.

Статья опубликована при поддержке форума сисадминов и программистов. На "CyberForum.ru" Вы найдёте форумы о таких темах, как программирование, компьютеры, обсуждение софта, web-программирование, наука, электроника и бытовая техника, карьера и бизнес, отдых, человек и общество, культура и искусство, дом и хозяйство, авто, мото и многое другое. На форуме Вы сможете получить бесплатную помощь. Подробнее Вы узнаете на сайте, который располагается по адресу: http://www.cyberforum.ru/differential-equations/ .

Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 5]. На рисунке приведен:
а) график функции y = f(x);
б) график производной y = f"(x).
По графику определите:
1) точки минимума функции y = f(x);
2) количество промежутков убывания функции y = f(x);
3) абсциссу точки графика функции y = f(x), в которой она принимает наибольшее значение на отрезке ;
4) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная параллельна оси Ox (или совпадает с ней).
Ответы :
а) 1) –3; 2; 4; 2) 3; 3) 3; 4) 4;
б) 1) –2; 4,6;2) 2; 3) 2; 4) 5.
Для проведения контроля можно организовать работу в парах: каждый учащийся заранее заготавливает на карточке своему партнеру график производной и ниже предлагает 4–5 вопросов на определение свойств функции. На уроках они обмениваются карточками, выполняют предложенные задания, после чего каждый проверяет и оценивает работу партнера.

Обобщающий урок на тему: «Применение производной и ее графика для чтения свойств функций» Задачи урока: Выработать специфические умения и навыки по работе с графиком производной функции для их применения при сдаче ЕГЭ; Формировать умения читать свойства функции по графику её производной Подготовиться к контрольной работе

Актуализация опорных знаний 3.Связь между значениями производной, угловым коэффициентом касательной, углом между касательной и положительным направлением оси ОХ Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке, то есть тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс. Если производная положительна, то угловой коэффициент -положителен, тогда угол наклона касательной к оси ОХ – острый. Если производная отрицательна, то угловой коэффициент -отрицателен, тогда угол наклона касательной к оси ОХ – тупой. Если производная равна нулю, то угловой коэффициент равен нулю, тогда касательная параллельна оси ОХ

0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастае т на этом интервале. Если f (x) 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастае т на этом интервале. Если f (x) 7 Актуализация опорных знаний Достаточные признаки монотонности функции. Если f (x) > 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастае т на этом интервале. Если f (x) 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастае т на этом интервале. Если f (x) 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастае т на этом интервале. Если f (x) 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастае т на этом интервале. Если f (x) 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастае т на этом интервале. Если f (x) title="Актуализация опорных знаний Достаточные признаки монотонности функции. Если f (x) > 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастае т на этом интервале. Если f (x)

Актуализация опорных знаний Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Только в этих точках функция может иметь экстремум (минимум или максимум, рис.5а,б). В точках x 1, x 2 (рис.5a) и x 3 (рис.5b) производная равна 0; в точках x 1, x 2 (рис.5б) производная не существует. Но все они точки экстремума. 5. Применение производной для определения критических точек, точек экстремума

Актуализация опорных знаний Необходимое условие экстремума. Если x 0 - точка экстремума функции f(x) и производная f существует в этой точке, то f(x 0)=0. Эта теорема - необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции f (x) = x 3 равна 0 при x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке С другой стороны, функция y = | x | имеет минимум в точке x = 0, но в этой точке производная не существует. Достаточные условия экстремума. Если производная при переходе через точку x 0 меняет свой знак с плюса на минус, то x 0 - точка максимума. Если производная при переходе через точку x 0 меняет св ой знак с минуса на плюс, то x 0 - точка минимума. 6. Необходимые и достаточные условия экстремума

Актуализация опорных знаний Наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции f(x) могут достигаться как во внутренних точках отрезка [а; в], так и на его концах. Если эти значения достигаются во внутренних точках отрезка, то эти точки являются точками экстремума. Поэтому надо найти значения функции в точках экстремума из отрезка [а; в], на концах отрезка и сравнить их. 7. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

1. Отработка знаний, умений и навыков по теме По следующим данным, приведённым в таблице, охарактеризуйте поведение функции. Шпаргалка для практической работы х(-3;0)0(0;4)4(4;8)8(8;+) f΄(x) f(x)

Характеристика поведения функции 1.ОДЗ: х принадлежит промежутку от -3 до +; 2.Возрастает на промежутках (-3;0) и (8;+); 3.Убывает на промежутках (0;8); 4.Х=0 – точка максимума; 5.Х=4 – точка перегиба; 6.Х=8 – точка минимума; 7.f(0) =-3; f(0) =-5; f(0) = 8;

5. Отработка знаний, умений и навыков по теме Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 6]. Сформулируйте 10 вопросов на определение свойств функции по графику производной y = f"(x) Ваша задача не просто давать правильный ответ, а умело его аргументировать (доказывать), с использованием соответствующих определений, свойств, правил.

Список вопросов (откорректированных) 1) количество промежутков возрастания функции y = f(x); 2) длину промежутка убывания функции y = f(x); 3) количество точек экстремума функции y = f(x); 4) точку максимума функции y = f(x); 5) критическую (стационарную) точку функции y = f(x), которая не является точкой экстремума; 6) абсциссу точки графика, в которой функция y = f(x) принимает наибольшее значение на отрезке ; 7) абсциссу точки графика, в которой функция y = f(x) принимает наименьшее значение на отрезке [–2; 2]; 8) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная перпендикулярна оси OУ; 9) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная образует с положительным направлением оси OХ угол 60°; 10) абсциссу точки графика функции y = f(x), в которой угловой коэффициент Ответ: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.

Тестирование (В8 из ЕГЭ) 1.Задания теста представлены на слайдах. 2.В таблицу заносите ответы. 3.После завершения теста меняетесь бланками с ответами, проверяете работу соседа по готовым результатам; оцениваете. 4.Проблемные задания рассматриваем и обсуждаем вместе.

К графику функции у =f(x) в его точке с абсциссой x 0 =2 проведена касательная. Определите угловой коэффициент касательной, если на рисунке изображен график производной данной функции. Функция у=f(х) определена на промежутке (-5;5). На рисунке изображен график производной этой функции. Найдите количество точек графика функции, в которых касательные параллельны оси абсцисс. 1

Функция определена на промежутке (-5;6). На рисунке изображен график её производной. Укажите количество точек, в которых касательные наклонены под углом 135 ° к положительному направлению оси абсцисс. Функция определена на промежутке (-6;6). На рисунке изображен график её производной. Укажите количество точек, которых касательные наклонены под углом 45° к положительному направлению оси абсцисс.

Функция у = f(х) определена на отрезке [-6;6]. График её производной изображен на рисунке. Укажите число промежутков возрастания функции у = f(х)на отрезке [-6;6]. Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;5]. График её производной изображен на рисунке. Укажите число точек максимума функции у = f(х)на отрезке [-5;5].

Функция у = f(х) определена на отрезке . График её производной изображен на рисунке. Укажите число точек минимума функции у =f(х)на отрезке . Функция у = f(х) определена на отрезке [-6;6]. График её производной изображен на рисунке. Укажите число промежутков убывания функции у=f(х)на отрезке [-6;6]. ab

Функция у = f(х) определена на отрезке [-6;6]. График её производной изображен на рисунке. Найдите промежутки возрастания функции у = f(х) на отрезке [-6;6]. В ответе укажите наименьшую из длин этих промежутков. Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;5]. График её производной изображен на рисунке. Найдите промежутки убывания функции у = f(х) на отрезке [-5;5]. В ответе укажите наибольшую из длин этих промежутков.

Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;4]. График её производной изображен на рисунке. Определите наименьшее из тех значений X, в которых функция имеет максимум. Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;5]. График её производной изображен на рисунке. Определите наименьшее из тех значений X, в которых функция имеет минимум.

Функция у = f(х) определена на промежутке (-6,6).На рисунке изображена производная данной функции. Найдите точку минимума функции. Функция у = f(х) определена на промежутке (-6,7).На рисунке изображена производная данной функции. Найдите точку максимума функции.

Решение задания 19 Используя график производной функции у = f(x), найдите значение функции в точке х = 5, если f(6) = 8 Для х 3 f (x) =k=3, следовательно на данном промежутке касательная задана формулой у=3х+b. Значение функции в точке касания совпадает со значением касательной. По условию f(6) = 8 8=3·6 + b b = -10 f(5) =3·5 -10 = 5 Ответ: 5

Подведение итогов урока Мы рассмотрели взаимосвязь монотонности функции и знака ее производной, достаточные условия существования экстремума. Рассмотрели различные задания на чтение графика производной функции, которые встречаются в текстах единого государственного экзамена. Все рассмотренные нами задания хороши тем, что на их выполнение не нужно много времени. Во время единого государственного экзамена это очень важно: быстро и правильно записать ответ.

Домашняя работа: задача, связанная с чтением одного и того же графика, но в одном случае это график функции, а в другом график ее производной. Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 5]. На рисунке приведен: а) график функции y = f(x); б) график производной y = f"(x). По графику определите: 1) точки минимума функции y = f(x); 2) количество промежутков убывания функции y = f(x); 3) абсциссу точки графика функции y = f(x), в которой она принимает наибольшее значение на отрезке ; 4) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная параллельна оси OХ (или совпадает с ней).

Литература 1.Учебник Алгебра и начала анализа 11 класс. С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.. Москва. «Просвещение» ЕГЭ Математика. Типовые тестовые задания. 3.Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по математике. Выпускной, вступительный, ЕГЭ на +5. М. «ВАКО» Интернет-ресурсы.